Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!
Решение неопределённых интегралов
Это онлайн сервис в один шаг :
Решение определённых интегралов
Это онлайн сервис в один шаг :
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
- Ввести нижний предел для интеграла
- Ввести верхний предел для интеграла
Решение двойных интегралов
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
Решение несобственных интегралов
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
- Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
- Ввести нижнюю область интегрирования (или - бесконечность)
Решение тройных интегралов
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
- Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
- Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
- Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования
Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность
Возможности
- Поддержка всех возможных математических функций: синус, косинус, экспонента, тангенс, котангенс, корень квадратный и кубический, степени, показательные и другие.
- Есть примеры для ввода, как для неопределённых интегралов, так и для несобственных и определённых.
- Исправляет ошибки в ведённых вами выражениях и предлагает свои варианты для ввода.
- Численное решение для определённых и несобственных интегралов (в том числе для двойных и тройных интегралов).
- Поддержка комплексных чисел, а также различных параметров (вы можете указывать в подинтегральном выражении не только переменную интегрирования, но и другие переменные-параметры)
Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования . С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов .
Пример
Задание. Найти интеграл $\int 2^{3 x-1} d x$
Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.
$\int 2^{3 x-1} d x=\int 2^{3 x} \cdot 2^{-1} d x=\frac{1}{2} \int\left(2^{3}\right)^{x} d x=$
$=\frac{1}{2} \int 8^{x} d x=\frac{8^{x}}{2 \ln 8}+C$
Ответ. $\int 2^{3 x-1} d x=\frac{8^{x}}{2 \ln 8}+C$
ссылке →
2. Внесение под знак дифференциала
3. Интегрирование заменой переменной
Интегрирование заменой переменной или методом подстановки . Пусть $x=\phi(t)$, где функция $\phi(t)$ имеет непрерывную производную $\phi^{\prime}(t)$, а между переменными $x$ и $t$ существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство
$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^{\prime}(t) \cdot d t$
Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.
Пример
Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{3-5 x}$
Решение. Заменим знаменатель на переменную $t$ и приведем исходный интеграл к табличному.
$=-\frac{1}{5} \ln |t|+C=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$
Ответ. $\int \frac{d x}{3-5 x}=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$
Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →
4. Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле
$\int u d v=u v-\int v d u$
При нахождении функции $v$ по ее дифференциалу $d v$ можно брать любое значение постоянной интегрирования $C$, так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать $C=0$ .
Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.
Пример
Задание. Найти интеграл $\int x \cos x d x$
Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.
$=x \sin x+\cos x+C$
Ответ. $\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$
Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Пример 1. Найти.
Разделив числитель на знаменатель, получим:
=
.
Отметим, что нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, потому что их сумма есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.
Пример 2.
Найти
.
Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:
.
Применив табличный интеграл 1, получим:
.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
=
.
В некоторых случаях нахождение интегралов упрощается применением искусственных приемов.
Пример 6.
Найти
.
Умножив подынтегральное выражение
на
находим
=
.
Пример 7 .
Пример 8 .
2. Интегрирование методом замены переменной
Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных является метод замены переменной. Сущность его заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому, который сравнительно легко берется непосредственно. Существуют два варианта этого метода.
а) Метод подведения функции под знак дифференциала
По определению дифференциала функции
.
Переход в этом равенстве слева направо
называют "подведением множителя
под
знак дифференциала".
Теорема об инвариантности формул интегрирования
Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е., если
, то и
,
где
- любая дифференцируемая функция отx
.
Ее значения должны принадлежать
интервалу, в котором функция
определена и непрерывна.
Доказательство:
Из того, что
,
следует
.
Возьмем теперь функцию
.
Для ее дифференциала в силу свойства
инвариантности формы первого дифференциала
функции имеем
Пусть требуется вычислить интеграл
.
Предположим, что существуют дифференцируемая
функция
и функция
такие, что подынтегральное выражение
может быть записано в виде
т.е.
вычисление интеграла
сводится к вычислению интеграла
и последующей подстановке
.
Пример 1. .
Пример 2. .
Пример 3 . .
Пример 4 . .
Пример
5
.
.
Пример 6 . .
Пример 7 . .
Пример 8. .
Пример 9. .
Пример 10 . .
Пример 11.
Пример
12
.
НайтиI=
(0).
Представим подынтегральную функцию в виде:
Следовательно,
Таким образом,
.
Пример
12а.
НайтиI
=
,
.
Так как
,
следовательно I = .
Пример 13.
Найти
(0).
Для
того, чтобы свести этот интеграл к
табличному, разделим числитель и
знаменатель подынтегрального выражения
на
:
.
Мы подвели постоянный множитель под знак дифференциала. Рассматриваякак новую переменную, получим:
.
Вычислим также интеграл, который имеет важное значение при интегрировании иррациональных функций.
Пример
14.
НайтиI=
(х
а
,а
0).
Имеем
.
Итак,
(х
а
,а
0).
Представленные примеры иллюстрируют важность умения приводить данное
дифференциальное
выражение
к виду
,
где
есть некоторая функция отx
иg
– функция более простая для интегрирования,
чемf
.
В этих примерах были проведены преобразования дифференциала, такие как
гдеb
– постоянная
величина
,
,
,
часто используемые при нахождении интегралов.
В таблице основных интегралов предполагалось, что x есть независимая переменная. Однако, эта таблица, как следует из изложенного выше, полностью сохраняет свое значение, если подx понимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной. Обобщим ряд формул таблицы основных интегралов.
3а.
.
4.
.
5.
=
.
6.
=
.
7.
=
.
8.
(х
а
,а
0).
9.
(а
0).
Операция подведения функции
под знак дифференциала эквивалентна
замене переменнойх
на новую переменную
.
Нижеследующие примеры иллюстрируют
это положение.
Пример
15.
НайтиI=
.
Произведем замену переменной по формуле
,
тогда
,
т.е.
иI=
.
Заменив u
его выражением
,
окончательно получим
I=
.
Выполненное преобразование эквивалентно
подведению под знак дифференциала
функции
.
Пример 16.
Найти
.
Положим
,
тогда
,
откуда
.
Следовательно,
Пример 17.
Найти
.
Пусть
,
тогда
,
или
.
Следовательно,
В заключение отметим, что разные способы интегрирования одной и той же функции иногда приводят к функциям, различным по своему виду. Это кажущееся противоречие можно устранить, если показать, что разность между полученными функциями есть постоянная величина (см. теорему, доказанную на лекции 1).
Примеры:
Результаты отличаются на постоянную величину, и, значит, оба ответа верны.
б) I=
.
Легко убедиться, что любые из ответов отличаются друг от друга только на постоянную величину.
б) Метод подстановки (метод введения новой переменной)
Пусть интеграл
(
- непрерывна) не может быть непосредственно
преобразован к виду табличного. Сделаем
подстановку
,
где
- функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда
,
и
.
(3)
Формула (3) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Но можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.
Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем.
Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
Производят замену под интегралом.
Находят полученный интеграл.
Производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.
Проиллюстрируем правило примерами.
Пример
18.
Найти
.
Пример
19.
Найти
.
=
.
Этот интеграл найдем подведением
под
знак дифференциала.
=.
Пример 20.
Найти
(
).
,
т.е.
,
или
.
Отсюда
,
т.е.
.
Таким образом, имеем
.
Заменяя
его выражением черезx
, окончательно
находим интеграл, играющий важную роль
в интегрировании иррациональных функций:
(
).
Студенты прозвали этот интеграл «длинным логарифмом».
Иногда вместо подстановки
лучше выполнять замену переменной вида
.
Пример 21.
Найти
.
Пример 22.
Найти
.
Воспользуемся подстановкой
.
Тогда
,
,
.
Следовательно, .
В ряде случаев нахождение интеграла основывается на использовании методов непосредственного интегрирования и подведения функций под знак дифференциала одновременно (см. пример 12).
Проиллюстрируем этот комбинированный подход к вычислению интеграла, играющего важную роль при интегрировании тригонометрических функций.
Пример 23.
Найти
.
=
.
Итак,
.
Другой подход к вычислению этого интеграла:
.
Пример 24.
Найти
.
Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.
Вычислить первообразные функции мы можем не всегда, но задача на дифференцирование может быть решена для любой функции. Именно поэтому единого метода интегрирования, который можно использовать для любых типов вычислений, не существует.
В рамках данного материала мы разберем примеры решения задач, связанных с нахождением неопределенного интеграла, и посмотрим, для каких типов подынтегральных функций подойдет каждый метод.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Метод непосредственного интегрирования
Основной метод вычисления первообразной функции – это непосредственное интегрирование. Это действие основано на свойствах неопределенного интеграла, и для вычислений нам понадобится таблица первообразных. Прочие методы могут лишь помочь привести исходный интеграл к табличному виду.
Пример 1
Вычислите множество первообразных функции f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .
Решение
Для начала изменим вид функции на f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 1 3 .
Мы знаем, что интеграл суммы функций будет равен сумме этих интегралов, значит:
∫ f (x) d x = ∫ 3 2 · 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 · 5 x + 4 1 3 d x
Выводим за знак интеграла числовой коэффициент:
∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 · ∫ (5 x + 4) 1 3 d x
Чтобы найти первый интеграл, нам нужно будет обратиться к таблице первообразных. Берем из нее значение ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1
Чтобы найти второй интеграл, потребуется таблица первообразных для степенной функции ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , а также правило ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C .
Следовательно, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 · ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 · 3 20 · (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C
У нас получилось следующее:
∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 · ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 · 3 20 · (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C
причем C = C 1 + 3 2 C 2
Ответ: ∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C
Непосредственному интегрированию с применением таблиц первообразных мы посвятили отдельную статью. Рекомендуем вам ознакомиться с ней.
Метод подстановки
Такой метод интегрирования заключается в выражении подынтегральной функции через новую переменную, введенную специально для этой цели. В итоге мы должны получить табличный вид интеграла или просто менее сложный интеграл.
Этот метод очень полезен, когда нужно интегрировать функции с радикалами или тригонометрические функции.
Пример 2
Вычислите неопределенный интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x .
Решение
Добавим еще одну переменную z = 2 x - 9 . Теперь нам нужно выразить x через z:
z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 · z d z = z d z
∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9
Берем таблицу первообразных и узнаем, что 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .
Теперь нам нужно вернуться к переменной x и получить ответ:
2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C
Ответ: ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .
Если нам приходится интегрировать функции с иррациональностью вида x m (a + b x n) p , где значения m , n , p являются рациональными числами, то важно правильно составить выражение для введения новой переменной. Подробнее об этом читайте в статье, посвященной интегрированию иррациональных функций.
Как мы говорили выше, метод подстановки удобно использовать, когда требуется интегрировать тригонометрическую функцию. Например, с помощью универсальной подстановки можно привести выражение к дробно рациональному виду.
Это метод объясняет правило интегрирования ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .
Добавляем еще одну переменную z = k · x + b . У нас получается следующее:
x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k
Теперь берем получившиеся выражения и добавляем их в интеграл, заданный в условии:
∫ f (k · x + b) d x = ∫ f (z) · d z k = 1 k · ∫ f (z) d z = = 1 k · F z + C 1 = F (z) k + C 1 k
Если же мы примем C 1 k = C и вернемся к исходной переменной x , то у нас получится:
F (z) k + C 1 k = 1 k · F k x + b + C
Метод подведения под знак дифференциала
Это метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в функцию вида f (g (x)) d (g (x)) . После этого мы выполняем подстановку, вводя новую переменную z = g (x) , находим для нее первообразную и возвращаемся к исходной переменной.
∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F (g (x)) + C
Чтобы быстрее решать задачи с использованием этого метода, держите под рукой таблицу производных в виде дифференциалов и таблицу первообразных, чтобы найти выражение, к которому надо будет приводится подынтегральное выражение.
Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных функции котангенса.
Пример 3
Вычислите неопределенный интеграл ∫ c t g x d x .
Решение
Преобразуем исходное выражение под интегралом с помощью основных тригонометрических формул.
c t g x d x = cos s d x sin x
Смотрим в таблицу производных и видим, что числитель можно подвести под знак дифференциала cos x · d x = d (sin x) , значит:
c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x , т.е. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .
Допустим, что sin x = z , в таком случае ∫ d sin x sin x = ∫ d z z . Согласно таблице первообразных, ∫ d z z = ln z + C . Теперь вернемся к исходной переменной ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .
Все решение в кратком виде можно записать так:
∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C
Ответ: ∫ с t g x d x = ln sin x + C
Метод подведения под знак дифференциала очень часто используется на практике, поэтому советуем вам прочесть отдельную статью, посвященную ему.
Метод интегрирования по частям
Этот метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в произведение вида f (x) d x = u (x) · v " x d x = u (x) · d (v (x)) , после чего применяется формула ∫ u (x) · d (v (x)) = u (x) · v (x) - ∫ v (x) · d u (x) . Это очень удобный и распространенный метод решения. Иногда частичное интегрирование в одной задаче приходится применять несколько раз до получения нужного результата.
Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных арктангенса.
Пример 4
Вычислите неопределенный интеграл ∫ a r c t g (2 x) d x .
Решение
Допустим, что u (x) = a r c t g (2 x) , d (v (x)) = d x , в таком случае:
d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x
Когда мы вычисляем значение функции v (x) , прибавлять постоянную произвольную С не следует.
∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2
Получившийся интеграл вычисляем, используя метод подведения под знак дифференциала.
Поскольку ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , тогда 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .
∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C
Ответ: ∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .
Главная сложность применения такого метода – это необходимость выбирать, какую часть брать за дифференциал, а какую – за функцию u (x) . В статье, посвященной методу интегрирования по частям, даны некоторые советы по этому вопросу, с которыми следует ознакомиться.
Если нам требуется найти множество первообразных дробно рациональной функции, то нужно сначала представить подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, а потом интегрировать получившиеся дроби. Подробнее см. статью об интегрировании простейших дробей.
Если мы интегрируем степенное выражение вида sin 7 x · d x или d x (x 2 + a 2) 8 , то нам будут полезны рекуррентные формулы, которые могут постепенно понижать степень. Они выводятся с помощью последовательного многократного интегрирования по частям. Советуем прочитать статью «Интегрирование с помощью рекуррентных формул.
Подведем итоги. Для решения задач очень важно знать метод непосредственного интегрирования. Другие методы (подведение под знак дифференциала, подстановка, интегрирование по частям) также позволяют упростить интеграл и привести его к табличному виду.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Непосредственное интегрирование
Основные формулы интегрирования
| 1. С – константа | 1*. | |
| 2. , n ≠ –1 | ||
| 3. +С | ||
| 4. | ||
| 5. | ||
| 6. | ||
| 7. | ||
| 8. | ||
| 9. | ||
| 10. | ||
| 11. | ||
| 12. | ||
| 13. | ||
| 14. |
Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием .
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.
Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берётся непосредственно.
Для интегрирования методом подстановки используют схему решения:
2) найти дифференциал от обеих частей замены;
3) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);
4) найти полученный табличный интеграл;
5) выполнить обратную замену.
Найдите интегралы:
Пример 1 . Подстановка: cosx=t, -sinxdx = dt,
Решение:
Пример 2. ∫e -x3 x 2 dx Подстановка: -x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Решение: ∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C
Пример 3. Подстановка: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,
Решение: .
РАЗДЕЛ 1.5. Определенный интеграл, методы его вычисления.
п.1 Понятие определенного интеграла
Задача. Найти приращение функции, первообразной для функции f(x) , при переходе аргумента x от значения a к значению b .
Решение . Положим, что интегрированием найдено: ∫ (x)dx = F(x)+C.
Тогда F(x)+C 1 , где С 1 - любое данное число, будет одной из первообразных функций для данной функции f(x) . Найдем её приращение при переходе аргумента от значения a к значению b . Получим:
x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)
Как видим, в выражении приращения первообразной функции F(x)+C 1 отсутствует постоянная величина C 1 . А так как под C 1 подразумевалось любое данное число, то полученный результат приводит к следующему заключению: при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b все функции F(x)+C , первообразные для данной функции f(x) , имеют одно и то же приращение, равное F(b)-F(a) .
Это приращение принято называть определенным интегралом и обозначать символом: и читается: интеграл от а до b от функции f(x) по dх или, короче, интеграл от а до b от f(х)dх.
Число а называется нижним пределом интегрирования, число b - верхним ; отрезок а ≤ x ≤ b – отрезком интегрирования. Предполагается при этом, что подынтегральная функция f(x) непрерывна при всех значениях x , удовлетворяющих условиям: a x b
Определение. Приращение первообразных функций F(x)+C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b , равное разности F(b)-F(a) , называется определенным интегралом и обозначается символом: так, что если ∫ (x)dx = F(x)+C, то = F(b)-F(a) - данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.
п.2 Основные свойства определённого интеграла
Все свойства сформулированы в предложении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.
п. 3 Непосредственное вычисление определенного интеграла
Для вычисления определённого интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница
т.е. определённый интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:
1) найти неопределенный интеграл от данной функции;
2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;
3) из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.
Пример 1: Вычислить интеграл:
Пример 2: Вычислить интеграл:
п.4 Вычисление определенного интеграла методом подстановки
Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:
1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;
2) найти новые пределы определенного интеграла;
3) найти дифференциал от обеих частей замены;
4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл); 5) вычислить полученный определенный интеграл.
Пример 1: Вычислить интеграл:
Подстановка: 1+cosx=t, -sinxdx = dt,
РАЗДЕЛ 1.6. Геометрический смысл определенного интеграла.
Площадь криволинейной трапеции:
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x).
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Найдем площадь этой трапеции.
Площадь фигуры, ограниченной осью 0x , двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции у = ƒ(х) (рисунок), определяется по формуле:
В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла.
Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х 2 .+2, у=0, х= -2, х=1.
Решение: Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у=0 задает ось Ох).
Ответ:S = 9 ед 2
Пример 2: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= - е х, х=1 и координатными осями.
Решение: Выполним чертеж.
Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью Ох
, то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:
Внимание! Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.
РАЗДЕЛ 1.7 . Применение определенного интеграла
п.1 Вычисление объема тела вращения
Если криволинейная трапеция прилежит к оси Оx, а прямые у=a, у=b и график функции у= F(x) (Рис.1), тогда объем тела вращения определяется по формуле, содержащей интеграл.
Объем тела вращения равен:
Пример:
Найти объём тела, ограниченного поверхностью вращения линии вокруг оси Ох при 0≤ х ≤4.
Решение: V
ед 3 . Ответ:ед 3 .
РАЗДЕЛ 3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
п.1 Понятие о дифференциальном уравнении
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее функцию от совокупности переменных и их производных.
Общий вид такого уравнения =0, где F- известная функция своих аргументов, заданная в фиксированной области; х - независимая переменная(переменная, по которой дифференцируется);у - зависимая переменная (та, от которой берутся производные и та, которую надо определить); - производная зависимой переменной у по независимой переменной х.
п.2 Основные понятия дифференциального уравнения
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.
Например:
Уравнение второго порядка, - уравнение первого порядка.
Всякая функция, связывающая переменные и обращающая дифференциальное уравнение в верное равенство, называется решением дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество по .
Общее решение, записанное в неявном виде =0, называется общим интегралом.
Частным решением уравнения =0 называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении - фиксированное число.
Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения n-го порядка (n= 1,2,3,…), удовлетворяющего начальным условиям вида
называется задачей Коши.
п.3 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде можно переписать в виде . Если . Интегрируем: .
Чтобы решить уравнение такого вида надо:
1. Разделить переменные;
2. Интегрируя уравнение с разделенными переменными, найти общее решение данного уравнения;
3. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).
Пример 1. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию y=4 при x=-2.
Решение: Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения: . Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представим в виде C/2. Имеем или - общее решение. Подставив в общее решение значения y=4 и x=-2, получим 16=4+С, откуда С=12.
Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид
Пример 2. Найдите частное решение уравнения, еслипри.
Решение: , , , , , общее решение.
Подставляем значения х и у в частное решение: , , частное решение.
Пример 3. Найдите общее решение уравнения. Решение: , , , - общее решение.
п.4 Дифференциальные уравнения порядка выше первого
Уравнение вида или решается двукратным интегрированием: , , откуда . Проинтегрировав эту функцию, получим новую функцию от f(x), которую обозначим через F(x). Таким образом, ; . Интегрируем еще раз: или у=Ф(х) . Получили общее решение уравнения, содержащее две произвольные постоянные и .
Пример 1. Решить уравнение .
Решение: , , ,
Пример 2. Решить уравнение . Решение: , , .
РАЗДЕЛ 3.2. Числовой ряд, его члены
Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида ++…++…, (1)
где , , …, , …- числа, принадлежащие некоторой определенной числовой системе.
Так, можно говорить о действительных рядах, для которых R, о комплексных рядах, для которых C, i = 1, 2, …, n, … = =.
Раздел 3.3. Основы теории вероятностей и математической статистики