7.1. Многообразие геометрических форм в природе . На уроках математики вы уже познакомились с некоторыми геометрическими фигурами. Под фигурой понимают любую совокупность (множество) точек. Всякую сложную фигуру можно разделить на более простые.
Если все точки фигуры лежат в одной плоскости, фигуру называют плоской: треугольник, квадрат и др. Совокупность точек, расположенных в пространстве, образует пространственную фигуру: куб, цилиндр и др. Фигуры в пространстве называют телами.
Предметы, которые нас окружают, детали машин имеют, как правило, сложную реальную геометрическую форму. Однако, присмотревшись к ним внимательно, можно заметить, что некоторые из них состоят из одного или нескольких простых геометрических тел или их видоизмененных частей. Такими геометрическими телами, образующими форму предметов, являются призмы (рис. 22, а), пирамиды (рис. 22, б), цилиндры (рис. 23, а), конусы (рис. 23, б), шары и др.
Рис. 22
Рис. 23
Форма каждого геометрического тела имеет свои характерные признаки. По ним мы отличаем призму от цилиндра, пирамиду от конуса и т. п. Эти признаки используются и при построении чертежей геометрических тел или состоящих из них предметов и деталей. Однако, прежде чем выполнять такие чертежи, выясним, какие правила положены в основу способов их построения.
- Какие геометрические тела вам известны?
- Посмотрите вокруг себя и найдите в форме окружающих предметов простые геометрические тела.
7.2. Общие сведения о проецировании . Изображения предметов на чертежах в соответствии с правилами государственного стандарта выполняют по способу (методу) прямоугольного проецирования. Проецированием будем называть процесс получения проекций предмета.
Рассмотрим пример. Возьмем в пространстве произвольную точку А и какую-нибудь плоскость. Обозначим эту плоскость, например, прописной буквой П (пи) греческого алфавита с индексом один - т. е. П 1 (рис. 24). Проведем через точку А прямую так, чтобы она пересекла плоскость П 1 в некоторой точке А". Тогда точка А" будет проекцией точки А. Проекции точек будем обозначать теми же буквами, что и сами точки, но со штрихом. Плоскость, на которой получается проекция, называется плоскостью проекций . Прямая АА" называется проецирующим лучом . С его помощью точка А проецируется на плоскость П 1 .
Рис. 24
Примечание. Существуют и другие обозначения проекций точек - A 1 , A 2 , А 3 - и плоскостей проекций - Н, V, W.
Указанным способом могут быть построены проекции всех точек любой фигуры. Так, чтобы получить проекцию А"B" отрезка АВ прямой (рис. 25, а), необходимо провести проецирующие лучи через две точки отрезка - А и В. При этом, если прямая или ее отрезок совпадают по направлению с проецирующим лучом (отрезок CD на рис. 25, б), они проецируются на плоскость проекций в точку. На изображениях проекции совпадающих точек обозначают знаком =, например: C = D", как на рисунке 25, б.
Рис. 25
Для построения проекции какой-либо фигуры необходимо через ее точки провести воображаемые проецирующие лучи до пересечения их с плоскостью проекций. Проекции всех точек фигуры на плоскости и образуют проекцию заданной фигуры.
Рассмотрим, например, получение проекции такой геометрической фигуры, как треугольник (рис. 26).
Рис. 26
Проекцией точки А на заданную плоскость П 1 будет точка А" как результат пересечения проецирующего луча АА" с плоскостью проекций. Проекциями точек Б и С будут точки В" и С. Соединив на плоскости точки А", В" и С отрезками прямых, получим фигуру А"В"С, которая и будет проекцией заданной фигуры.
В дальнейшем под термином проекция мы будем понимать изображение предмета на плоскости проекций.
Слово «проекция» латинское. В переводе оно означает «бросать (отбрасывать) вперед».
Положите на бумагу какой-нибудь плоский предмет и обведите его карандашом. Вы получите изображение, соответствующее проекции этого предмета. Примерами проекций являются фотографические снимки, кинокадры и др.
Изображения предметов, полученные путем проецирования, будем называть проекционными.
- Что представляет собой проецирование?
- Как строить на плоскости проекцию точки? проекцию фигуры?
7.3. Центральное и параллельное проецирование . Если проецирующие лучи, с помощью которых строится проекция предмета, исходят из одной точки, проецирование называется центральным (рис. 27). Точка, из которой исходят лучи, называется центром проецирования . Полученная при этом проекция называется центральной.
Рис. 27
Центральную проекцию часто называют перспективной. Примерами центральной проекции являются фотоснимки и кинокадры, тени, отброшенные от предмета лучами электрической лампочки, и др. Центральные проекции применяют в рисовании с натуры.
Если проецирующие лучи параллельны друг другу (рис. 28), то проецирование называется параллельным , а полученная проекция - параллельной . Параллельной проекцией можно условно считать солнечные тени предметов. Примеры параллельного проецирования приведены на рисунках 25, а и 26.
Рис. 28
Строить изображение предмета при параллельном проецировании проще, чем при центральном. Так, если отрезок АВ (рис. 28) или любая плоская фигура, как, например, на рисунке 29, параллельны плоскости проекций, то их проекции и сами проецируемые фигуры равны.
Рис. 29
При параллельном проецировании все лучи падают на плоскость проекций под одинаковым углом. Если это любой угол, который не равен 90°, как на рисунке 29, а или на рисунке 25, а, то проецирование называется косоугольным.
В том случае, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (см. рис. 29, б), т. е. составляют с ней угол 90°, проецирование называется прямоугольным (см. рис. 26). Полученная при этом проекция называется прямоугольной .
- Какое проецирование называется центральным? параллельным? косоугольным? прямоугольным?
- Почему строить изображение в параллельной проекции проще, чем в центральной?
7.4. Получение аксонометрических проекций. В технической графике особую группу составляют проекции, которые получены путем параллельного проецирования предмета вместе с осями х, у и z пространственной системы прямоугольных координат на произвольную плоскость (рис. 30). Обозначим ее П 0 . Полученную таким образом проекцию на плоскости П 0 называют аксонометрической . В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости проекций аксонометрические проекции могут быть как прямоугольными, так и косоугольными.
Рис. 30
Слово «аксонометрия» - греческое. В переводе оно означает «измерение по осям».
Проекции х 0 , у 0 и z 0 осей координат на плоскости проекций называют аксонометрическими . Когда строят аксонометрические проекции предметов, размеры откладывают по осям или параллельно им.
Аксонометрические проекции относят к числу наглядных изображений. По ним можно легко получить общее представление о внешней форме предмета.
Однако на аксонометрических проекциях предметы получаются с искажениями. Например, окружности проецируются в эллипсы, прямые углы - в тупые или острые. Искажаются и некоторые размеры предмета. Поэтому такие проекции применяют в основном при выполнении технических рисунков.
Для получения изображений на чертежах используют метод прямоугольного проецирования на одну, две и более плоскости проекций.
- Какие проекции называют аксонометрическими?
- Какие аксонометрические проекции получаются в зависимости от направления проецирования?
Для изображения предметов на плоскости “Начертательная геометрия” использует метод проецирования . Он состоит в том, что некий луч характеризует направление прямой (сама она в пространстве бесконечна).
Рис. 4
В зависимости от расположения прямых по отношению к плоскостям проекций различают прямые общего и частного положения .
Прямые общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций (рис. 4). Прямые частного положения разделяют на прямые уровня и проецирующие . Первые параллельны одной из плоскостей проекций, а вторые - перпендикулярны одной из них, чем и объясняются их названия. Горизонталь - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций (прямая горизонтального уровня). Фронталь - прямая, параллельная фронтальной плоскости (прямая фронтального уровня). Наконец, профильная прямая параллельна третьей плоскости проекций. На чертеже эти прямые выглядят так, как показано на рис. 5 (h 2 - фронтальная проекция горизонтали; h 1 - горизонтальная проекция горизонтали; f 2 - фронтальная проекция фронтали; f 1 - горизонтальная проекция фронтали; р 1 , р 2 - соответствующие проекции профильной прямой).
Рис. 5
Т.к. проецирующая прямая перпендикулярна какой-либо из плоскостей проекций, ее проекция на эту плоскость вырождается в точку и называется главной . Различают фронтально- (рис. 6 а), горизонтально- (рис. 6 б) и профильно-проецирующие (рис. 6 в) прямые.
Рис. 6
Отметим, что проецирующие прямые являются и прямыми уровня. Так, фронтально-проецирующая прямая - и горизонталь, и профильная, поскольку она параллельна и горизонтальной, и профильной плоскостям проекций. По этой же причине горизонтально-проецирующая прямая - и фронталь, и профильная, а профильно-проецирующая прямая - и горизонталь, и фронталь. Итак, проецирующие прямые - одновременно дважды прямые уровня.
В пространстве прямые могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными. Комплексные чертежи таких случаев расположения прямых представлены на рис. 7.
Рис. 7
Кривые линии чаще всего задают их проекциями (рис. 8).
Рис. 8
Наибольший интерес представляет изображение окружностей, располагающихся в плоскостях, параллельных одной из плоскостей проекций. На рис. 9 представлены двухпроекционные комплексные чертежи окружностей, плоскости которых параллельны фронтальной (рис. 9 а), горизонтальной (рис. 9 б) и профильной (рис. 9 в) плоскостям проекций.
На какой-либо поверхности (плоской, цилиндрической, сферической, конической) с помощью проецирующих лучей.
Проецирование может осуществляться различными методами.
Методом проецирования называется способ получения изображений с помощью определенной, присущей только ему совокупности средств проецирования (центра проецирования, направления проецирования, проецирующих лучей, плоскостей (поверхностей) проекций), которые определяют результат - соответствующие проекционные изображения и их свойства.
Для того чтобы получить любое изображение предмета на плоскости, необходимо расположить его перед плоскостью проекций и из центра проецирования провести воображаемые проецирующие лучи, пронизывающие каждую точку поверхности предмета. Пересечение этих лучей с плоскостью проекций дает множество точек, совокупность которых создает изображение предмета, называемое его проекцией. Это общее определение рассмотрим на примере проецирования точки, прямой, треугольника и треугольной призмы на плоскость проекций H.
Проецирование точки (рис. 52, а). Возьмем в пространстве произвольную точку А и расположим ее над плоскостью проекций H. Проведем через точку А проецирующий луч так, чтобы он пересек плоскость H в некоторой точке а, которая будет являться проекцией точки А. (Здесь и в дальнейшем будем обозначать точки, взятые на предмете, прописными буквами чертежного шрифта, а их проекции - строчными.) Как видим, методом проецирования можно получить проекцию нульмерного объекта- точки.
Проецирование прямой (рис. 52, б). Представим себе прямую как совокупность точек. Используя метод проецирования, проведем множество параллельных проецирующих лучей через точки, из которых состоит прямая, до пересечения их с плоскостью проекций. Полученные проекции точек составят проекцию заданной прямой - одномерного объекта.
Проецирование треугольника (рис. 52, в). Расположим треугольник ABC перед плоскостью H. Приняв вершины треугольника за отдельные точки А, В, С, спроецируем каждую из них на плоскость проекций. Получим проекции вершин треугольника - a, b, с. Последовательно соединив проекции вершин (а и b; b и с; с и а), получим проекции сторон треугольника (ab, bc, ca). Часть плоскости, ограниченная изображением сторон треугольника abc, будет являться проекцией треугольника ABC на плоскости H Следовательно, методом проецирования можно получить проекцию плоской фигуры - двухмерного объекта.
Проецирование призмы (рис. 52, г). Для примера возьмем наклонную треугольную призму и спроецируем ее на плоскость проекций H. В результате проецирования призмы на плоскость H получают изображения (проекции) ее оснований - треугольников - abc и a 1 b 1 c 1 и боковых граней - прямоугольников abb 1 a 1 и bcc 1 b 1 . Так в результате проецирования на плоскости H получают проекцию треугольной призмы. Следовательно, с помощью метода проецирования можно отобразить любой трехмерный объект.
Рис. 52. Проецирование нуль-, одно-, двух- и трехмерных объектов: а - точка;
б - прямая; в - треугольник; г - призма
Таким образом, методом проецирования можно отобразить на плоскости любой объект (нуль-, одно-, двух- и трехмерный). В этом отношении метод проецирования является универсальным.
Сущность проецирования легче понять, если вспомнить получение изображения в кинотеатре: световой поток лампы кинопроектора проходит через пленку и отбрасывает изображение на полотно. При этом изображение на киноэкране будет в несколько раз больше изображения на кинопленке.
Существует центральное (или перспективное) и параллельное проецирование. Параллельное проецирование бывает прямоугольным (ортогональным) или косоугольным (табл. 5).
5. Методы проецирования
Центральное проецирование (перспектива) характеризуется тем, что проецирующие лучи исходят из одной точки (S), называемой центром проецирования . Полученное изображение называется центральной проекцией .
Перспектива передает внешнюю форму предмета так, как воспринимает его наше зрение.
При центральном проецировании, если предмет находится между центром проецирования и плоскостью проекций, размеры проекции будут больше оригинала; если предмет расположен за плоскостью проекций, то размеры проекции станут меньше действительных размеров изображаемого предмета.
Параллельное проецирование характеризуется тем, что проецирующие лучи параллельны между собой. В этом случае предполагается, что центр проецирования (S) удален в бесконечность.
Изображения, полученные в результате параллельного проецирования, называются параллельными проекциями.
Если проецирующие лучи параллельны между собой и падают на плоскость проекций под прямым углом, то проецирование называется прямоугольным (ортогональным), а полученные проекции - прямоугольными (ортогональными). Если проецирующие лучи параллельны между собой, но падают на плоскость Проекций под углом, отличным от прямого, то проецирование называется косоугольным, а полученная проекция - косоугольной. При проецировании объект располагают перед плоскостью проекций таким образом, чтобы на ней получилось изображение, несущее наибольшую информацию о форме.
Изображения на плоскости получают методом проецирования . Аппарат проецирования представлен на рисунке 1.
Рисунок 1. Аппарат проецирования
Объект проецирования — точка А . Через точку А проходит проецирующий луч i с направлением к картинной плоскости, называемой плоскостью проекций . Точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций называется проекцией точки . Обозначение проекции точки должно содержать индекс плоскости проекций. Например, при проецировании на плоскость П n проекция точки будет обозначена — А n .
Виды проецирования
Различают центральное и параллельное проецирование . В первом случае источник лучей находится в обозримом пространстве — точка S собственная, во втором — источник лучей расположен в бесконечности. Схемы центрального и параллельного проецирования приведены соответственно на рисунках 2 и 3. Модель центрального проецирования — пирамида (рисунок 4) или конус; модель параллельного проецирования — призма (рисунок 5) или цилиндр.
Рисунок 2. Схема центрального проецирования
Проецированием на одну плоскость проекций получается изображение, которое однозначно не определяет форму и размеры предмета. На рисунке 1 проекция точки А — Аn не определяет положение самой точки в пространстве, поскольку по одной проекции невозможно определить расстояние, на котором точка находится от плоскости П . Наличие только одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях, когда невозможно воспроизвести пространственный образ (оригинал) предмета, говорят о необратимости чертежа.
Рисунок 3. Схема параллельного проецирования
Рисунок 4. Модель центрального проецирования (пирамида)
Рисунок 5. Модель параллельного проецирования (призма)
Для исключения неопределенности объекты проецируют на две, три и более плоскостей проекций. Ортогональное проецирование на две плоскости предложил французский геометр Гаспар Монж (ХVIII век). Метод Монжа представлен на рисунке 6,а,б,в (а — наглядное изображение точки в двугранном угле, б — комплексный чертеж точки, в — восстановление объекта, точки А, в пространстве по ее проекциям).
Рисунок 6. Проецирование точки:
а — образование проекций пространственной точки А;
б — чертеж точки А;
в — восстановление пространственного образа точки А по проекциям А1 и А2
Инвариантные свойства параллельных проекций:
- проекция точки есть точка;
- проекция прямой в общем случае прямая;
- проекции взаимно параллельных прямых в общем случае — параллельные прямые;
- проекции пересекающихся прямых — пересекающиеся прямые, при этом точки пересечения проекций прямых лежат на одном перпендикуляре к оси проекций;
- если плоская фигура занимает положение, параллельное плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в конгруэнтную фигуру.
Различают косоугольные и прямоугольные параллельные проекции. Если проецирующие лучи направлены к плоскости проекций под углом, отличным от прямого, то проекции называют косоугольными. Если проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций, то полученные проекции называют прямоугольными. Для прямоугольных проекций используют термин ортогональные от греческого ortos — прямой.
При ортогональном проецировании в пространство вводят две или три взаимно перпендикулярные плоскости, которым присваивают следующие названия и обозначения:
- горизонтальная плоскость проекций — П1
- фронтальная плоскость проекций — П2
- профильная плоскость проекций — П3
Плоскости проекций бесконечны и, пересекаясь, делят пространство на восемь частей — октантов, как показано на рисунке 7.
Рисунок 7. Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1, П2 и П3 делят пространство на восемь частей (октантов)
В практике построения изображений чаще всего используют первый октант, который далее будем называть трехгранным углом. Наглядное изображение трехгранного угла приведено на рисунке 8.
Рисунок 8. Трехгранный угол, первый октант
При пересечении плоскостей проекций образуются прямые линии - оси проекций:
Ось X (икс) — ось абсцисс ось Y (игрек) — ось ординат Ось Z (зет) — ось аппликат
Если оси проградуировать, то получится координатная система, в которой легко построить объект по заданным координатам. Система прямоугольных координат была предложена Декартом (ХVIIIв.). Ортогональным проекциям присущи все свойства параллельных проекций. На рисунке 9 показано преобразование трехгранного угла и образование комплексного чертежа точки А .
Рисунок 9. Преобразование трехгранного угла и образование чертежа точки в трех проекциях
а — наглядное изображение, б — развертка трехгранного угла, в — чертеж точки
На рисунке 10 приведен комплексный чертеж прямого кругового конуса, отмечена точка S — вершина конуса. Оси проекций X, Y, Z не показаны, что часто используется в практике построения чертежей .
>>Черчение: Проецирование
Процесс получения изображения предмета на плоскости (плоскостях).
Рассмотрим сущность проецирования на примере получения изображения объекта на одну плоскость. Для этого выберем плоскость, которую назовем плоскостью проекций. Перед ней поместим любой объект, например, прямую АВ. Перед прямой расположим центр проецирования, из которого направим к плоскости проекций проецирующие лучи через все точки прямой АВ до пересечения их с плоскостью проекций. На плоскости проекций получим изображение совокупности точек, которое будет являться проекцией данной прямой АВ (рис. 77).
Таким образом, проекция - это изображение объекта, полученное при проецировании его на плоскость проекций.
Проекцию обозначают малыми буквами латинского алфавита (а, б). Различают центральное (рис. 77) и параллельное проецирование (рис. 78). При центральном проецировании проецирующие лучи исходят из одной точки - центра проецирования (в). При параллельном проецировании все проецирующие лучи параллельны ме-
жду собой, поскольку центр проецирования удален в бесконечность.
Метод центрального проецирования используется в архитектуре, строительстве, а также в академическом рисовании.
В науке , технике, производстве применяют параллельные проекции, так как они достаточно наглядны и выполнять их проще, чем центральные.
Параллельное проецирование подразделяется на прямоугольное (рис. 79) и косоугольное (рис. 80).При прямоугольном (ортогональном) проецировании проецирующие лучи падают на плоскость под прямым углом (рис. 79). При косоугольном проецировании проецирующие лучи падают на плоскость под углом, отличным от прямого
Вопросы и задания
1. Что называется проецированием?
2. Дайте определение понятиям «плоскость проекций», «проекция», «проецирующие лучи», «центр проецирования».
3. На рис. 81 показано, что вёдро стоит под душем, а на рис. 82 - под отвесным дождем. Если через небольшой промежуток времени отключить душ и убрать ведро, то можно обнаружить, что оно оставило сухое пятно большего диаметра. Если скоро пройдет дождь , то ведро, стоящее под отвесным дождем, оставит сухим пятно, равное диаметру ведра. Какое «проецирование» дали струи воды в каждом случае?
Н.А.Гордеенко, В.В.Степакова - Черчение.,9 класс
Отослано читателями из интернет-сайтов